Teorien om sandsynlighed. Sandsynligheden for en hændelse, lejlighedsvis begivenhed (sandsynlighedsregning). Uafhængige og uforenelige udviklinger i teorien om sandsynlighed

Det er usandsynligt, at mange mennesker synes, det er muligt at tælle begivenheder, som til en vis grad et uheld. For at sige det i enkle ord, er det realistisk at vide, hvilken side af terningen i terningerne vil falde næste gang. Det var dette spørgsmål at stille to store videnskabsmænd, der er grundlaget for denne videnskab, teorien om sandsynlighed, sandsynligheden for den begivenhed, hvor den omfattende undersøgt nok.

generation

Hvis du forsøger at definere et sådant koncept som teorien om sandsynlighed, får vi følgende: dette er en af de grene af matematikken, der studerer konstans af tilfældige begivenheder. Det er klart, dette koncept er virkelig ikke afslører essensen, så er du nødt til at overveje det nærmere.

Jeg vil gerne starte med grundlæggerne af teorien. Som nævnt ovenfor, der var to, der Per Ferma og Blez Paskal. De var de første forsøg på at bruge formler og matematiske beregninger til at beregne resultatet af en begivenhed. Generelt er ansatser til denne videnskab er selv i middelalderen. Mens forskellige tænkere og videnskabsmænd har forsøgt at analysere kasinospil såsom roulette, craps, og så videre, derved at etablere et mønster, og den procentvise tab af et tal. Fundamentet blev også lagt i det syttende århundrede var det de førnævnte lærde.

I første omgang kunne deres arbejde ikke tilskrives de store resultater på dette område, trods alt, hvad de gjorde, de var simpelthen empiriske fakta og eksperimenter var klart uden brug af formler. Over tid, viste det sig at opnå store resultater, der udkom som et resultat af observation af cast af knoglerne. Det er dette instrument har været med til at bringe den første særskilte formel.

tilhængere

For ikke at nævne en Mand som Christiaan Huygens, i færd med at studere emnet, der bærer navnet "sandsynlighedsregning" (sandsynligheden for hændelsen fremhæver det i denne videnskab). Denne person er meget interessant. Han, såvel som forskere præsenteret ovenfor er forsøgt i form af matematiske formler til at udlede et mønster af tilfældige begivenheder. Det er bemærkelsesværdigt, at han ikke delte det med Pascal og Fermat, det er alt hans arbejde ikke overlapper med disse tanker. Huygens udledt de grundlæggende begreber i sandsynlighedsteori.

Et interessant faktum er, at hans arbejde kom længe før resultaterne af værker af pionerer, at være helt nøjagtig, tyve år tidligere. Der er kun blandt de begreber identificerede var:

• som begrebet sandsynlighedsværdier chance;
• forventning til diskrete tilfælde;
• teoremer addition og multiplikation af sandsynligheder.

Desuden kan man ikke glemme Yakoba Bernulli, som også har bidraget til undersøgelsen af problemet. Gennem deres egen, ingen af dem er uafhængige test, var han i stand til at levere bevis for store tals lov. Til gengæld forskere Poisson og Laplace, der arbejdede i begyndelsen af det nittende århundrede, var i stand til at bevise den oprindelige sætning. Fra det øjeblik til at analysere fejl i observationerne vi begyndte at bruge sandsynlighedsregning. Part omkring denne videnskab kunne ikke og russiske forskere, snarere Markov, Chebyshev og Dyapunov. De er baseret på det arbejde gjort store genier, sikrede emnet som en gren af matematikken. Vi arbejdede disse tal i slutningen af det nittende århundrede, og takket være deres bidrag, har vist sig fænomener såsom:

• store tals lov;
• Teori om Markovkæder;
• Den centrale grænseværdi sætning.

Så historien om fødslen af videnskab og med de store personligheder, der bidrog til det, alt er mere eller mindre klar. Nu er det tid til at konkretisere alle fakta.

grundlæggende begreber

Før du rører de love og teoremer bør lære de grundlæggende begreber i sandsynlighedsteori. Begivenhed det indtager en dominerende rolle. Dette emne er temmelig omfattende, men vil ikke være i stand til at forstå alt det andet uden.

Event i sandsynlighedsregning - det Enhver sæt af resultaterne af forsøget. Begreber på dette fænomen er der ikke nok. Således Lotman videnskabsmand, der arbejder inden for dette område, har givet udtryk for, at i dette tilfælde taler vi om, hvad "der skete, selv om det ikke kunne ske."

Tilfældige hændelser (sandsynlighedsregning lægger særlig vægt på dem) - er et begreb, der involverer absolut enhver fænomen, der har mulighed for at forekomme. Eller, tværtimod, dette scenario kan ikke ske i udførelsen af en række betingelser. Det er også værd at vide, at udfylde hele volumen af de fænomener, der forekommer lige tilfældige begivenheder. Sandsynlighed teori foreslår, at alle forhold kan gentages konstant. Det er deres adfærd er blevet kaldt "oplevelse" eller "test".

Betydelig begivenhed - det er et fænomen, der er hundrede procent i denne test ske. I overensstemmelse hermed den umulige begivenhed - det er noget, der ikke sker.

Kombinere par Handling (konventionelt tilfældet A og sag B) er et fænomen, som optræder samtidigt. De er benævnt AB.

Mængden af par af hændelser A og B - C er i andre ord, hvis mindst en af dem vil (A eller B), får du en C. Formlen beskrevne fænomen skrives som C = A + B.

Inkompatible udviklinger i teorien om sandsynlighed indebærer, at de to sager er gensidigt udelukker hinanden. På samme tid, de er i hvert fald ikke kan forekomme. Fælles begivenheder i sandsynlighedsregning - det er deres antipode. Det betyder, at hvis A skete, betyder det ikke, at C.

Opposing begivenheden (sandsynlighedsteori anser dem i detaljer), er nemme at forstå. Det er bedst at behandle dem i sammenligning. De er næsten de samme som uforenelige udviklinger i teorien om sandsynlighed. deres forskel er imidlertid, at en af en flerhed af fænomener under alle omstændigheder bør forekomme.

Lige sandsynlige begivenheder - disse handlinger, muligheden for gentagelse er lige. For at gøre det klart, kan man forestille sig at smide en mønt: tab af en af dens sider er andre lige så sandsynlige tab.

det er lettere at betragte eksemplet med begunstige begivenheden. Antag at der er en episode i episoden A. Den første - en rulle en terning med fremkomsten af et ulige antal, og den anden - udseendet af nummer fem på terningerne. Så viser det sig, at A er begunstiget V.

Uafhængige hændelser i sandsynlighedsteori projiceres kun på to eller flere gange og involverer uafhængig af enhver handling fra den anden. For eksempel A - ved tab haler mønt tossing, og B - dostavanie stikket fra dækket. De har uafhængige begivenheder i sandsynlighedsteori. Fra dette øjeblik blev det klart.

Afhængige begivenheder i sandsynlighedsteori er også kun tilladt for deres sæt. De indebærer afhængighed af en på den anden, det vil sige, at fænomenet kan forekomme i kun i det tilfælde, hvor en allerede har fundet sted eller, tværtimod, skete ikke, når det er - den vigtigste betingelse for B.

Resultatet af den tilfældige eksperiment, der består af en enkelt komponent - det er elementære hændelser. Sandsynlighedsteori siger, at det er et fænomen, der sker kun en gang.

grundlæggende formel

Således er den ovenfor blev betragtet begrebet "begivenhed", "sandsynlighedsregning", blev definitioner af centrale begreber i denne videnskab også givet. Nu er det tid til at gøre sig bekendt med de vigtige formler. Disse udtryk er matematisk bekræftet alle de vigtigste begreber i sådan et vanskeligt emne som teorien om sandsynlighed. Sandsynligheden for en hændelse og spiller en stor rolle.

Bedre at starte med de grundlæggende formler for kombinatorik. Og før du begynder dem, det er værd at overveje, hvad det er.

Kombinatorik - er først og fremmest en gren af matematikken, han har studeret et stort antal af heltal, og forskellige permutationer af både tal og deres elementer, forskellige data osv, hvilket fører til et antal kombinationer ... Ud over teorien om sandsynlighed, denne industri er vigtig for statistik, datalogi og kryptografi.

Så nu kan du gå videre til præsentationen af sig selv og deres definition formler.

Den første af disse er udtryk for antallet af permutationer, det er som følger:

P_n = n ⋅ (n - 1) ⋅ (n - 2) ... 3 2 ⋅ ⋅ 1 = n!

Ligning gælder kun i tilfældet, hvis elementerne varierer kun i størrelsesordenen arrangement.

Nu placering formel, det ser sådan ud, vil blive taget i betragtning:

A_n ^ m = n ⋅ (n - 1) ⋅ (n-2) ⋅ ... ⋅ (n - m + 1) = n! : (N - m)!

Dette udtryk er ikke kun anvendelig til det eneste element af orden placering, men også til dens sammensætning.

Den tredje ligning af kombinatorik, og det er sidstnævnte, kaldet formel for antallet af kombinationer:

C_n ^ m = n! : ((N - m))! : M!

Kombination kaldet prøveudtagning, som ikke er bestilt, henholdsvis til og anvendt denne regel.

Med formlerne i kombinatorik kom nemt at forstå, kan du nu gå til den klassiske definition af sandsynlighed. Det ser ud som dette udtryk på følgende måde:

P (A) = m: n.

I denne formel, m - er antallet af betingelser, der bidrager til begivenheden A, og n - antal ligeligt og fuldstændigt alle elementære begivenheder.

Der er mange udtryk i artiklen, vil ikke blive betragtet noget, men berørte vil være de vigtigste, som for eksempel, at sandsynligheden for begivenheder beløb:

P (A + B) = P (A) + P (B) - denne sætning for at tilføje kun gensidigt eksklusive arrangementer;

P (A + B) = P (A) + P (B) - P (AB) - men dette er kun for at tilføje kompatible.

Sandsynligheden for begivenheden værker:

P (A ⋅ B) = P (A) ⋅ P (B) - denne sætning for uafhængige hændelser;

(P (A ⋅ B) = P (A) ⋅ P (B | A), P (A ⋅ B) = P (A) ⋅ P (A | B)) - og dette for den afhængige.

Sluttede liste over begivenheder formel. Teorien om sandsynlighed fortæller os teorem Bayes, der ser sådan ud:

P (H_m | A) = (P (H_m) P (A | H_m)): (Σ_ (k = 1) ^ n P (H_k) P (A | H_k)), m = 1, ..., n

I denne _{formel, H1, H2,} ..., _Hn - er et komplet sæt af hypoteser.

På dette stop, vil prøver formler ansøgning nu komme i betragtning til specifikke opgaver fra praksis.

eksempler

Hvis du omhyggeligt undersøge enhver gren af matematikken, er det ikke uden øvelser og prøve løsninger. Og teorien om sandsynlighed: begivenheder, eksempler her er en integreret del af bekræftelse videnskabelige beregninger.

Formlen for antallet af permutationer

For eksempel i et spil kort har tredive kort, begyndende med den nominelle én. Næste spørgsmål. Hvor mange måder at folde dæk, så kortene med en pålydende værdi af én og to ikke var placeret ved siden af?

Opgaven er indstillet, lad os nu gå videre til at beskæftige sig med det. Først skal du bestemme antallet af permutationer af tredive elementer, til dette formål, vi tager den ovenstående formel, viser det sig P_30 = 30!.

Baseret på denne regel, vi ved, hvor mange muligheder der er for at fastsætte dækket på mange måder, men vi skal fratrækkes dem er dem, hvor den første og andet kort vil være næste. For at gøre dette, skal du starte med en variant, hvor den første er placeret på den anden. Det viser sig, at det første kort kan tage ni og tyve pladser - fra den første til den niogtyvende, og det andet kort fra den anden til den tredive, vender tyve ni sæder til par af kort. Til gengæld kan de andre tage tyve-otte siddepladser, og i vilkårlig rækkefølge. Det vil sige, for omlægning af de otte og tyve kort er tyve otte muligheder P_28 = 28!

Resultatet er, at hvis vi betragter beslutningen, når det første kort er på anden ekstra mulighed for at få 29 ⋅ 28! = 29!

Ved hjælp af samme metode, du har brug for at beregne antallet af overflødige muligheder for tilfældet, når det første kort er placeret under den anden. Også opnået 29 ⋅ 28! = 29!

Heraf følger, at de ekstra muligheder 2 ⋅ 29!, Mens de nødvendige midler til at indsamle dækket 30! - 2 ⋅ 29!. Det er fortsat kun at beregne.

30! = 29! ⋅ 30; 30 - 2 ⋅ 29! = 29! ⋅ (30 - 2) = 29! ⋅ 28

Nu er vi nødt til at formere sig sammen alle numrene 1-29, og derefter i slutningen af alle ganget med 28. Svaret opnåede 2,4757335 ⋅ 〖〗 10 ^ 32

Eksempler på opløsninger. Formlen for antallet af overnatningsmuligheder

I dette problem, skal du finde ud af, hvor mange der er måder at sætte de femten bind på en hylde, men på betingelse af at kun tredive bind.

I denne opgave beslutningen lidt lettere end den forrige. Ved hjælp af allerede kendte formel, er det nødvendigt at beregne det samlede antal tredive lokationer femten volumes.

A_30 ^ 15 = 30 ⋅ 29 ⋅ ... ⋅ 28⋅ (30 - 15 + 1) = 30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ ... ⋅ 16 = 202 843 204 931 727 360 000

Reaktion henholdsvis vil være lig med 202 843 204 931 727 360 000.

Nu tager opgaven lidt sværere. Du skal vide, hvor mange der er måder at arrangere de toogtredive bøger på hylderne, med det forbehold, at kun femten bind kan opholde sig på samme hylde.

Før starten af beslutningen vil gerne præcisere, at nogle af de problemer kan løses på flere måder, og i denne er der to måder, men i både en og samme formel anvendes.

I denne opgave, kan du tage svaret fra den foregående, fordi der vi har beregnet det antal gange, du kan udfylde hylden i femten bøger på forskellige måder. Det viste A_30 ^ 15 = 30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ ... ⋅ (30 - 15 + 1) = 30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ ... ⋅ 16.

Det andet regiment beregnes af formlen omfordeling, fordi den er placeret femten bøger, medens resten af femten. Vi bruger formel P_15 = 15!.

Det viser sig, at beløbet vil A_30 ^ 15 ⋅ P_15 måder, men, derudover vil produktet af alle de numre fra 30-16 multipliceres med produktet af tallene med en til femten, i sidste ende vise sig produktet af alle de numre fra 1 til 30, der er svaret er 30!

Men dette problem kan løses på en anden måde - lettere. For at gøre dette, kan man forestille sig, at der er en hylde i tredive bøger. Alle af dem er placeret på dette plan, men fordi den betingelse kræver, at der var to hylder, én lang vi savning i halve, to omdrejninger femten. Ud fra dette er det viser sig, at denne ordning kan være P_30 = 30!.

Eksempler på opløsninger. Formlen for antallet af kombinationer af

Hvem betragtes som en variant af den tredje problem af kombinatorik. Du skal vide, hvor mange måder der er at arrangere femten bøger om den betingelse, at du skal vælge imellem tredive nøjagtig det samme.

For beslutningen vil naturligvis anvende formlen for antallet af kombinationer. Fra den betingelse, at det bliver klart, at rækkefølgen af de samme femten bøger er ikke vigtigt. Så i starten skal du finde ud af det samlede antal kombinationer af tredive femten bøger.

C_30 ^ 15 = 30! : ((30-15))! : 15! = 155117520

Det er alt. Ved hjælp af denne formel, på kortest mulig tid til at løse sådan et problem, er svaret henholdsvis lig med 155.117.520.

Eksempler på opløsninger. Den klassiske definition af sandsynlighed

Ved hjælp af formlen givet ovenfor, kan man finde et svar på en enkel opgave. Men det vil tydeligt se og følge løbet af handling.

Den givne opgave at i en urne er der ti fuldstændig ens bolde. Af disse fire gule og seks blå. Taget fra urnen ene bold. Det er nødvendigt at kende sandsynligheden dostavaniya blå.

For at løse problemet er det nødvendigt at udpege dostavanie blå bold begivenhed A. Denne erfaring kan have ti resultater, som igen, elementære og lige sandsynlige. Samtidig, seks af de ti er gunstige for begivenheden A. Løs følgende formel:

P (A) = 6: 10 = 0,6

Anvendelsen af denne formel, har vi lært, at muligheden dostavaniya blå bold er 0,6.

Eksempler på opløsninger. Sandsynligheden for begivenheder beløb

Hvem vil være en variant, som løses ved hjælp af formlen for sandsynligheden for begivenheder beløb. Så i betragtning af den betingelse, at der er to sager, den første er grå og fem hvide kugler, mens den anden - otte grå og fire hvide kugler. Som et resultat heraf har den første og anden kasser taget på en af dem. Det er nødvendigt at finde ud af, hvad er chancerne for, at manglede boldene er grå og hvid.

For at løse dette problem, er det nødvendigt at identificere begivenheden.

• Således A - vi har en grå kugle af det første felt: P (A) = 1/6.
• A '- hvid pære også taget fra det første felt: P (A') = 5/6.
• Den - allerede ekstraheret grå bold af den anden ledning: P (B) = 2/3.
• B '- tog en grå bold af den anden skuffe: P (B') = 1/3.

Ifølge problemet er det nødvendigt, at en af de fænomener, der skete: AB 'eller' B. Ved hjælp af formlen får vi: P (AB ') = 1/18, P (A'B) = 10/18.

Nu formlen for multiplicere sandsynligheden blev anvendt. Dernæst at finde ud af svaret, er du nødt til at anvende deres ligning tilføjer:

P = P (AB '+ A'B) = P (AB') + P (A'B) = 11/18.

Det er sådan, ved hjælp af formlen, kan du løse sådanne problemer.

resultat

Papiret blev præsenteret for oplysninger om "sandsynlighedsteori", er sandsynligheden for begivenheder, der spiller en vigtig rolle. Selvfølgelig er ikke alt blevet overvejet, men på grundlag af teksten præsenteres, kan du i teorien få bekendtskab med denne gren af matematikken. Anses videnskaben kan være nyttig, ikke kun i den professionelle virksomhed, men også i hverdagen. Du kan bruge det til at beregne enhver mulighed for en begivenhed.

Teksten blev også påvirket af betydelige datoer i historien om udviklingen af sandsynlighedsregning som en videnskab, og navnene på folk, hvis værker er blevet lagt i den. Det er sådan menneskelig nysgerrighed har ført til, at folk har lært at tælle, endda tilfældige begivenheder. Når de er bare interesseret i dette, men i dag er det allerede kendt af alle. Og ingen kan sige, hvad der vil ske med os i fremtiden, hvad andre geniale opdagelser relateret til teorien under overvejelse, ville blive begået. Men én ting er sikkert - undersøgelsen stadig er ikke det værd!