Dirichlet-princippet. Synlighed og enkelhed i løsning af problemer med varierende kompleksitet

Den tyske matematiker Dirichlet Peter Gustav Lejeune (13.02.1805 - 05.05.1859) er kendt som grundlæggeren af det princip, der er opkaldt efter ham. Men foruden teorien, der traditionelt blev forklaret på eksemplet "kaniner og bur", på vegne af et udenlandsk korrespondentmedlem i Petersborgs videnskabsakademi, et medlem af Royal Society of London, Paris-akademiet for videnskab, Berlin-akademiet for videnskab, professor i Berlin og Goettingen-universiteterne, har mange værker på matematisk analyse og talteori .

Han introducerede ikke kun det velkendte princip til matematik, men Dirichlet kunne også bevise en sætning på et uendeligt stort antal primater, der eksisterer i enhver aritmetisk progression fra heltal med en bestemt tilstand. Og betingelsen er, at den første sigt og forskellen er gensidigt enkle tal.

Han studerede omhyggeligt fordelingsloven for antallet af primtal, som er forbundet med aritmetiske fremskridt. Dirichlet introducerede funktionelle serier med en speciel form. Han lykkedes for første gang at formulere og studere begrebet betinget konvergens nøjagtigt og studere begrebet betinget konvergens og etablere konvergenskriteriet for en serie for at give et stramt bevis på muligheden for at udvide i en Fourier-serie en funktion, der har et begrænset antal både maxima og minima . Forladte ikke i Dirichlets værker spørgsmål om mekanik og matematisk fysik (Dirichlet-princippet for teorien om harmonisk funktion).

Den unikke fremgangsmåde udviklet af den tyske videnskabsmand ligger i sin visuelle enkelhed, som gør det muligt for en at studere Dirichlet-princippet i en grundskole. Universelt værktøj til løsning af en bred vifte af problemer, som både bruges til at bevise simple teoremer i geometri og til løsning af komplekse logiske og matematiske problemer.

Tilgængeligheden og enkelheden af metoden gjorde det muligt at bruge spilmetoden visuelt til dens forklaring. Et kompliceret og lidt forvirrende udtryk, der formulerer Dirichlet-princippet, har formularen: "For et sæt N-elementer opdelt i et bestemt antal uensartede dele - n (fælles elementer er fraværende) under betingelsen N> n, vil mindst en del indeholde mere end en Element ". Det blev besluttet at omskrive det med succes. For dette formål for at opnå klarhed skulle N erstattes af "kaniner" og n til "celler", og den abstruse udtryk læste: "Forudsat at der er mindst en kanin, der er mindst en enhed end celler, Ville have et bur i hvilken to eller flere harer vil falde. "

Denne metode af logisk ræsonnement har stadig et navn fra det modsatte, det er blevet almindeligt kendt som Dirichlet-princippet. De opgaver, der løses med dets brug, er meget forskellige. Uden at gå ind i en detaljeret beskrivelse af løsningen, anvendes Dirichlet-princippet med lige stor succes både til at bevise simple geometriske og logiske problemer, og det er grundlaget for indledning, når man overvejer problemer med højere matematik.

Proponenter for brugen af denne metode hævder, at hovedproblemet med at anvende metoden er at bestemme hvilke data der falder ind under definitionen af "kaniner" og som skal betragtes som "celler".

I problemet med en lige linje og en trekant, der ligger i et plan, om nødvendigt for at bevise, at det ikke kan krydse med en gang tre sider, anvendes der som en begrænsning en betingelse: den lige linje går ikke gennem nogen højde af trekanten. Som "kaniner" betragtes højderne af en trekant, og "celler" er to halvplaner, der ligger på begge sider af en lige linje. Selvfølgelig vil mindst to højder være i en af halvplanerne henholdsvis segmentet, som de begrænser, den lige linje undertrykkes ikke, hvilket skulle bevises.

Desuden anvendes Dirichlet-princippet simpelt og kortfattet i ambassadørernes og vimplernes logiske opgave. Ambassadører fra forskellige lande slog sig rundt om bordet, men landets flag er placeret langs omkredsen, så hver ambassadør var ved siden af symbolet på et fremmed land. Det er nødvendigt at bevise eksistensen af en sådan situation, når mindst to flag skal placeres i nærheden af repræsentanterne for de respektive lande. Hvis vi accepterer ambassadører for "kaniner" og "bur" udpeger de resterende positioner, når bordet roterer (der allerede er mindre end en), så er opgaven selv afgørende.

Disse to eksempler er givet for at vise, hvor nemt de indviklede problemer løses ved at anvende den metode, der er udviklet af den tyske matematiker.