Geometrisk progression og dets egenskaber

Geometrisk progression er vigtige i matematik som en videnskab, og anvendt betydning, da det har en meget bred rækkevidde, selv i de højere matematik, for eksempel i teorien om serien. Den første oplysninger om de fremskridt, kom til os fra det gamle Egypten, især i form af et velkendt problem i Rhind papyrus syv personer med syv katte. Variationer af denne opgave blev gentaget mange gange på forskellige tidspunkter fra andre nationer. Selv Velikiy Leonardo Pizansky, kendt som Fibonacci (XIII c.), Talte til hende i sin "Book of Abacus."

Således at den geometriske progression har en gammel historie. Den repræsenterer en numerisk sekvens med en ikke-nul første element, og hvert efterfølgende, begyndende med det andet bestemmes ved at multiplicere det foregående gentagelse formel ved en konstant, ikke-nul nummer, der kaldes nævner progression (det normalt betegnet hjælp bogstavet q).
Naturligvis kan det findes ved at dividere hver efterfølgende periode af sekvensen til det foregående, det vil sige z 2: z 1 = ... = zn: z n-1 = .... Følgelig for de fleste job progression (zn) tilstrækkeligt, at den kender værdien af den første periode, nævneren og y 1 q.

Lad os for eksempel z 1 = 7, q = - 4 (q <0), derefter følgende geometrisk progression opnås 7 - 28, 112 - 448, .... Som du kan se, er den resulterende sekvens er ikke monoton.

Minde om, at en vilkårlig sekvens af monoton (stigende / faldende), når et af dets medlemmer følger mere / mindre end den foregående. For eksempel er sekvensen 2, 5, 9, ..., og -10, -100, -1000, ... - monotone, den anden - en aftagende geometrisk progression.

I tilfældet, hvor q = 1, er alle medlemmer sig at være, og det kaldes konstant progression.

Sekvensen var progression af denne type, skal den opfylde følgende nødvendig og tilstrækkelig betingelse, nemlig: begyndende i det andet, hver af dens medlemmer bør være det geometriske gennemsnit af tilstødende medlemmer.

Denne egenskab gør det muligt under visse to tilstødende fund vilkårlig sigt progression.

n'te term eksponentielt nemt findes ved formlen: zn = z 1 * q ^ (n-1), z kende første element 1 og nævneren q.

Da talfølge har en sum, derefter et par simple beregninger giver os en formel til at beregne summen af den første progression af medlemmer, nemlig:

S n = - (Zn * q - z 1) / (1 - q).

Udskiftning i formlen dets ekspression værdi zn z 1 * q ^ (n-1) til opnåelse af en anden sum formel af progressionen: Sn = - z1 * (q ^ n - 1) / (1 - q).

Er fortjener opmærksomhed følgende interessant faktum: leret tablet fundet i udgravninger af det gamle Babylon, som henviser til VI. BC, indeholder bemærkelsesværdig måde summen af 1 + 2 + ... + 22 + 29 lig med 2 til tiende magt minus 1. Forklaringen på dette fænomen er endnu ikke blevet fundet.

Vi bemærker en af egenskaberne af geometrisk progression - en konstant arbejde af medlemmerne indbyrdes afstand i samme afstand fra enderne af sekvensen.

Af særlig betydning ud fra et videnskabeligt synspunkt sådan noget som en uendelig geometrisk progression og beregning af dets størrelse. Antages det, at (yn) - en geometrisk progression med nævneren q, opfylder betingelsen | q | <1, dens størrelse vil blive henvist til den grænse, mod hvilken vi allerede kender summen af de første medlemmer, med ubegrænset forøgelse af n, så har på det nærmer uendelighed.

Find dette beløb som et resultat af anvendelse af formlen:

S n = y 1 / (1- q).

Og, da erfaringen har vist, for den tilsyneladende enkelhed af denne progression er skjult et enormt potentiale ansøgning. For eksempel, hvis vi konstruere en sekvens af kvadrater ifølge følgende algoritme, der forbinder midtpunkterne af den foregående, så de danner et kvadrat uendelig geometrisk progression med en nævner 1/2. Samme progression formular og område af trekanter, opnået på hvert trin af konstruktion, og dens sum er lig med arealet af den oprindelige firkant.