Regulære polyedre: elementer symmetri og område

Geometri er smuk, fordi, i modsætning til algebra, hvilket ikke altid er klart, hvorfor og hvad du synes, giver en visuel objekt. Denne vidunderlige verden af forskellige organer pryder regulære polyedre.

Generel information om regulære polyedre

Ifølge mange, regulære polyedre, eller som de kaldes platoniske legemer, besidder unikke egenskaber. Med disse objekter tilsluttet flere videnskabelige hypoteser. Når du begynder at studere de geometriske data i kroppen, indser du, at næsten ikke ved noget om sådan et koncept som den regulære polyedre. Præsentationen af disse objekter i skolen er ikke altid interessant, så mange ikke engang huske, hvad de blev kaldt. Til minde om de fleste mennesker er det bare en terning. Ingen af kroppen geometri er ikke i besiddelse sådan perfektion som regulære polyedre. Alle navnene på disse geometriske legemer stammer fra det antikke Grækenland. De repræsenterer antallet af ansigter: den tetraeder - fire-sidet, heksaeder - Allen, oktaeder - ottekant, dodekaeder - dodecahedral, ikosaeder - ikosaedriske. Alle disse geometriske krop indtager en vigtig plads i Platons opfattelse af universet. Fire af dem er legemliggjort elementer eller enheder: Tetrahedron - den brand, ikosaedret - vand terning - jord, oktaeder - luft. Dodecahedron legemliggjort alle ting. Han blev betragtet som det vigtigste, som et symbol på universet.

Den generalisering af begrebet et polyeder

Polyeder er en endelig samling af polygoner, således at:

• hver af siderne af nogen af polygoner er samtidig kun den ene side af en anden polygon på samme side;
• fra hver af de polygoner, du kan gå til den anden ved at passere tilstødende dertil polygoner.

Polygoner udgør polyhedron repræsenterer dens flader og deres side - ribben. polyedre knudepunkter er de knudepunkter af polygoner. Hvis udtrykket polygon forstå flade lukkede polylinjer, så kom til en definition af et polyeder. I tilfældet, hvor ved dette udtryk menes en del af det plan, som er afgrænset af punkterede linier, vil det forstås overflade bestående af polygonale stykker. Konvekse polyeder kaldes legemet liggende på den ene side af planet, der støder op til dets flader.

En anden definition af et polyeder og dens elementer

Polyeder kaldet overflade bestående af polygoner, hvilket begrænser den geometriske legeme. De er:

• ikke-konvekse;
• konveks (rigtigt og forkert).

Regelmæssig polyeder - er en konveks polyeder med maksimal symmetri. Elementer af regulære polyedre:

• Tetrahedron: 6 ribber 4 ansigter 5 vertices;
• hexahedron (terning) 12, 6, 8;
• dodekahedron 30, 12, 20;
• oktaeder 12, 8, 6;
• ikosaeder 30, 20, 12.

Eulers sætning

Den etablerer en sammenhæng mellem antallet af kanter, hjørner og ansigter er topologisk ækvivalent med en kugle. Addere antallet af toppunkter og flader (B + D) har forskellige regulære polyedre og sammenligne dem med antallet af ribber, er det muligt at indstille en regel: summen af antallet af flader er lig med antallet af knuder og kanter (P) steg med 2. Det er muligt at udlede en enkel formel:

• B + D = P + 2.

Denne formel er gyldig for alle konvekse polyedre.

grundlæggende definitioner

er umuligt Begrebet en regelmæssig polyhedron at beskrive i én sætning. Det er mere værdsat og volumen. Et organ til at blive anerkendt som sådan, er det nødvendigt, at den opfylder en række definitioner. Således vil en geometrisk legeme være en regelmæssig polyeder når disse betingelser er opfyldt:

• det er konveks;
• det samme antal ribber konvergerer ved hver af sine knudepunkter;
• alle facetter af hans - regulære polygoner, hvilket svarer til hinanden;
• Alle to-plans vinkler er lige.

Egenskaber af regulære polyedre

Der er 5 forskellige typer af regulære polyedre:

1. Cube (heksaeder) - det har en flad spids vinkel er 90 °. Det har en 3-sidet vinkel. Beløb ansigt vinkler på toppen af 270 °.
2. Tetrahedron - flad spids vinkel på - 60 °. Det har en 3-sidet vinkel. Beløb flade vinkler ved toppunktet - 180 °.
3. Oktaeder - flad spids vinkel på - 60 °. Det har en fire-sidet vinkel. Beløb flade vinkler ved toppunktet - 240 °.
4. Dodecahedron - en flad spids vinkel på 108 °. Det har en 3-sidet vinkel. Beløb ansigt vinkler i spidsen - 324 °.
5. Ikosaeder - det har en flad spids vinkel på - 60 °. Det har en fem-sidet vinkel. Beløb ansigt vinkler på toppen af 300 °.

Området med regulære polyedre

Overfladearealet af de geometriske legemer (S) beregnes som en regulær polygon område multipliceret med antallet af facetter (G):

• S = (a: 2) x 2G ctg π / s.

Mængden af en regelmæssig polyeder

Denne værdi er beregnet ved at multiplicere rumfanget af en regelmæssig pyramide, hvis basis er en regulær polygon, antallet af flader, og højden er den indskrevne radius af kuglen (r):

• V = 1: 3RS.

Mængden af regulære polyedre

Ligesom alle andre geometriske solide, regelmæssige polyedre har forskellige mængder. Nedenfor er formler, som de kan beregne:

• Tetrahedron: α x 3√2: 12;
• oktaeder: α x 3√2: 3;
• icosahedron; α x 3;
• hexahedron (terning): a x 5 x 3 x (3 + √5): 12;
• dodecahedron: α x 3 (15 + 7√5): 4.

Elementer af regulære polyedre

Heksaeder og oktaeder er dual geometriske legemer. Med andre ord kan de komme ud af hinanden i tilfælde af, at det geometriske tyngdepunkt af den ene tages som toppen af den anden, og omvendt. Også er dobbelt icosahedron og dodecahedron. Sig kun tetraeder er dual. I overensstemmelse med fremgangsmåden i Euclid kan fås fra en dodekaeder heksaeder ved at konstruere "tag" på ansigterne af terningen. Hjørnerne i tetraeder er nogen 4 knudepunkter af terningen, ikke tilstødende par langs kanten. Fra heksaeder (terning) kan fås, og andre regulære polyedre. På trods af at regulære polygoner der er utallige, regulære polyedre, der er kun 5.

Den radier af regulære polygoner

Med hver af disse geometriske legemer er forbundne koncentriske sfærer 3:

• beskrevet passerer gennem toppunkterne;
• indskrevet vedrørende hver af sine ansigter i midten af det;
• median om alle kanter i midten.

Radius af kuglen beskrevet ved den følgende formel beregnes:

• R = a: 2 x tg π / g x tg θ: 2.

Radius af den indskrevne kugle beregnes som følger:

• R = a: 2 x ctg π / p x tg θ: 2,

hvor θ - toplansvinkel, som er mellem tilstødende facetter.

Medianen radius af kuglen kan beregnes ved anvendelse af følgende formel:

• ρ = et cos TT / p: 2 sin π / h,

hvor h = størrelsen på 4,6, 6,10 eller 10. Forholdet mellem radierne af den indskrevne beskrevet og symmetrisk i forhold til p og q. Den beregnes som følger:

• R / r = tg π / p x tg π / q.

Symmetri polyedre

Symmetrien af den regulære polyedre er af primær interesse for disse geometriske legemer. Det forstås som en bevægelse af legemet i rummet, hvilket efterlader det samme antal vertices, flader og kanter. Med andre ord, under indflydelse af symmetri Transformations kant, vertex eller ansigt bevarer sin oprindelige position, eller bevæges til udgangspositionen af en anden ribbe, de andre toppunkter eller flader.

Elementer af symmetri af regulære polyedre er fælles for alle typer af geometriske faste stoffer. Her er det udført på identitet transformation, hvilket efterlader nogen af de punkter i den oprindelige position. Så når du tænder den polygonale prisme kan få nogle symmetrier. Enhver af dem kan være repræsenteret som et produkt af refleksion. Symmetri, som er produktet af et lige antal refleksioner, kaldet direkte. Hvis det er et produkt af et ulige antal refleksioner, så kaldes det feedback. Således er alle svingene omkring linjen repræsenterer lige symmetri. Enhver refleksion polyeder - er den inverse symmetri.

For bedre at forstå de symmetri elementer i den regulære polyedre, kan du tage eksemplet med tetraeder. Alle linje, der vil passere gennem en af de knudepunkter og centrum af den geometriske form, vil finde sted, og gennem midten af kanten modsat den. Hver af vindingerne 120 og 240 ° rundt om linjen tilhører den plural tetraedriske symmetri. Da det 4 knudepunkter og ansigter, får vi i alt otte direkte symmetrier. Enhver af de linjer gennem midten af kanterne og midten af kroppen, passerer det gennem midten af den modsatte kant. Enhver drejning på 180 °, kaldet en halv omgang omkring en lige symmetri. Da tetraeder har tre par ribben, får du tre linjer af symmetri. På baggrund af ovenstående kan vi konkludere, at det samlede antal af direkte symmetri, og herunder identiteten transformation, vil være op til tolv. Anden direkte symmetri tetraeder findes ikke, men det har 12 omvendt symmetri. Følgelig kun 24 kendetegnet tetrahedron symmetrier. For klarhedens skyld kan vi bygge en model af en regulært tetraeder lavet af pap og sørg for at det er den geometriske krop virkelig har kun 24 symmetri.

Dodecahedron og ikosaeder - nærmest kroppen området. Icosahedron har det største antal af ansigter, den to-plans vinkel og mest af alt kan stramt klamre sig til den indskrevne sfære. Dodecahedron har den laveste kantede defekt største rumvinkel på toppunktet. Det kan maksimere at udfylde den omskrevne sfære.

scanning polyedre

Regelmæssig polyedre scanning, som vi alle hænger sammen i barndommen, har en masse begreber. Hvis der er et sæt af polygoner, er hver side af som identificeret med kun den ene side af polyeder, skal identifikationen af parterne opfylder to betingelser:

• af hver polygon, kan du gå til en polygon med identifikationen af den side;
• identificerbar side skal have samme længde.

Det er et sæt af polygoner, der opfylder disse betingelser, og kaldes et polyeder scanning. Hvert af disse organer har flere af dem. For eksempel, en terning, hvoraf der er 11 stykker.