Tillid interval. Hvad er det, og hvordan kan det bruges?

Fortrolighedsintervallet kom til os fra statistikområdet. Dette er et vist interval, som tjener til at evaluere en ukendt parameter med høj grad af pålidelighed. Den nemmeste måde at forklare dette på er med et eksempel.

Antag at du vil undersøge nogle tilfældige værdier, for eksempel hastigheden af serverens svar på klientens anmodning. Hver gang en bruger ringer adressen til et bestemt sted, reagerer serveren på dette ved forskellige hastigheder. Således er reaktionstiden under undersøgelse tilfældig. Således tillader konfidensintervallet os at bestemme grænserne for denne parameter, og så vil det være muligt at hævde, at med en sandsynlighed på 95% vil serverens reaktionshastighed være i det interval, vi har beregnet.

Eller du skal finde ud af, hvor mange mennesker, der kender til firmaets mærke. Når konfidensintervallet beregnes, vil det f.eks. Være muligt at sige, at med en 95% andel af sandsynligheden er andelen af forbrugere, der kender til dette mærke , i området fra 27% til 34%.

Dette udtryk er tæt forbundet med en sådan værdi som tillids sandsynligheden. Det er sandsynligheden for, at den ønskede parameter går ind i konfidensintervallet. Fra denne værdi afhænger hvor stor vores ønskede interval vil være. Jo større betydning det tager, jo mere bliver konfidensintervallet og omvendt. Normalt er den sat til 90%, 95% eller 99%. Værdien af 95% er mest populær.

Denne indikator påvirkes også af variationen af observationer og størrelsen på prøven. Dens definition er baseret på den antagelse, at den undersøgte egenskab overholder den normale distributionslov. Denne erklæring er også kendt som gaussisk lov. Ifølge ham hedder fordelingen af alle sandsynligheder for en kontinuerlig tilfældig variabel normal, hvilket kan beskrives ved sandsynlighedstætheden. Hvis antagelsen om en normal fordeling viste sig at være fejlagtig, er estimatet muligvis ikke korrekt.

Lad os først se på, hvordan du beregner konfidensintervallet for en matematisk forventning. Her er to tilfælde mulige. Variansen (variationsgraden af en tilfældig variabel) kan være kendt eller ej. Hvis det er kendt, beregnes vores konfidensinterval ved hjælp af følgende formel:

Xsr - t * σ / (sqrt (n)) <= α <= xcp + t * σ / (sqrt (n)), hvor

Α er et tegn,

T er en parameter fra Laplace distributionstabellen,

Sqrt (n) er kvadratroden af den samlede prøvestørrelse ,

Σ er kvadratroden af variansen.

Hvis variansen er ukendt, kan den beregnes, hvis vi kender alle værdierne for den ønskede karakteristik. For at gøre dette skal du bruge følgende formel:

Σ2 = x2cp - (xcp) 2, hvor

X2cp er gennemsnitsværdien af kvadraterne af testfunktionen,

(Xcp) 2 er kvadratet af middelværdien af denne karakteristik.

Formlen til beregning af konfidensintervallet i denne sag varierer lidt:

Xsp - t * s / (sqrt (n)) <= α <= xcp + t * s / (sqrt (n)), hvor

Хср - selektivt gennemsnit,

Α er et tegn,

T er en parameter, der findes ved hjælp af Studentens distributionsbord t = t (ɣ; n-1),

Sqrt (n) er kvadratroden af den samlede prøvestørrelse,

S er kvadratroden af variansen.

Overvej dette eksempel. Antag at baseret på resultaterne fra 7 målinger, blev gennemsnitsværdien af testfunktionen bestemt til 30 og prøvevariancen lig med 36. Det er nødvendigt at finde med en sandsynlighed for 99% et konfidensinterval, der indeholder den sande værdi af den målte parameter.

Først definerer vi hvad der er lig med t: t = t (0,99, 7-1) = 3,71. Vi bruger ovenstående formel, vi får:

Xsr - t * s / (sqrt (n)) <= α <= xcp + t * s / (sqrt (n))

30 - 3,71 * 36 / (sqrt (7)) <= α <= 30 + 3,71 * 36 / (sqrt (7))

21.587 <= α <= 38.413

Fortrolighedsintervallet for variansen beregnes både i tilfælde af det kendte middelværdi, og når der ikke er nogen data om den matematiske forventning, og kun værdien af punktets upartiske variansestimat er kendt. Vi vil ikke give formlerne til beregningen, da de er ret komplekse, og om ønsket kan de altid findes på nettet.

Vi bemærker kun, at det er praktisk at bestemme konfidensintervallet ved hjælp af et Excel-program eller en netværkstjeneste, der kaldes det.