Georg Cantor: sæt teori, biografi og familie matematik

Georg Cantor (foto viser senere i artiklen) - tysk matematiker, der udviklede teorien om sæt og indførte begrebet transfinite tal, uendeligt store, men er forskellige fra hinanden. Han gav også en definition af ordenstal og mængdetal og etablerede deres aritmetiske.

Georg Cantor: en kort biografi

Født i St. Petersburg 1845/03/03. Hans far var en dansk protestantisk Georg Waldemar Cantor, var engageret i handel, i bind. H. Og på børsen. Hans mor, Maria, Bem var katolik og kom fra en familie af prominente musikere. Når i 1856 hans far George blev syg, familien på jagt efter et mildere klima flyttede først til Wiesbaden derefter til Frankfurt. Matematisk talent, drengen dukkede før sin 15 års fødselsdag, mens han studerede i private skoler og offentlige skoler i Darmstadt og Wiesbaden. I sidste ende, Georg Cantor overtalt sin far i hans beslutning om at blive en matematiker snarere end en ingeniør.

Efter en kort uddannelse på universitetet i Zürich i 1863. Cantor blev overført til Berlin Universitet for at studere fysik, filosofi og matematik. Der blev han undervist:

• Karl Theodor Weierstrass, hvis specialisering i analysen, havde sandsynligvis den største indflydelse på George;
• Ernst Kummer, der lærte den højeste aritmetiske;
• Leopold Kronecker, om talteori specialist, som senere imod Cantor.

Efter at have tilbragt et semester på universitetet i Göttingen i 1866, næste år George skrev sin doktorafhandling med titlen "I matematik, kunsten at stille spørgsmål er mere værdifuld end at løse problemer" med hensyn det problem, at Carl Friedrich Gauss venstre uløste i hans Disquisitiones Arithmeticae (1801) . Efter kortvarigt at undervise på Berlin School for piger startede Kantor arbejder på universitetet i Halle, hvor han forblev indtil slutningen af sit liv, først som foredragsholder, siden 1872 som adjunkt, og siden 1879 den første som professor.

forskning

I begyndelsen af en serie på 10 værker fra 1869 til 1873, Georg Cantor overvejet teorien om tal. Arbejdet afspejler lidenskab for emnet for hans undersøgelse og effekten af Gauss Kroneckers. På forslag af Heinrich Eduard Heine, Cantor kolleger på Halle, som anerkendte hans matematiske talent, vendte han sig til teorien om trigonometriske serie, som udvidede begrebet reelle tal.

Baseret på arbejdet funktion af en kompleks variabel i den tyske matematiker Bernhard Riemann i 1854, i 1870 Cantor har vist, at en sådan funktion kan repræsenteres på én måde - ved trigonometriske serie. Behandling af det sæt af tal (points), som ikke vil være i strid dette synspunkt, førte ham, i første omgang, i 1872, til definitionen af irrationelle tal i form af konvergerende sekvenser af rationale tal (fraktioner af heltal) og derefter til begyndelsen af arbejdet på hans livsværk, mængdelære og begrebet transfinite numre.

mængdelære

Georg Cantor, den teori, som indstiller sin oprindelse i korrespondance med tekniske højskole ved Braunschweig matematiker Richard Dedekind, var venner med ham siden barndommen. De konkluderede, at sættene, begrænset og ubegrænset, er en flerhed af elementer (fx numre {0, ± 1, ± 2 ...}) Hvilke har en bestemt egenskab, samtidig beholder deres individualitet. Men da Georg Cantor anvendes til at studere deres egenskaber en korrespondance (fx {A, B, C} til {1, 2, 3}), han indså hurtigt, at de adskiller sig i deres grad af tilhørsforhold, selv om det var uendelig sæt , t. e. kulisse eller en delmængde af som omfatter det samme antal objekter, som den selv. Hans metode gav hurtigt fantastiske resultater.

I 1873, Georg Cantor (matematiker) viste, at rationale tal, selv om uendelig, er tællelig, fordi de kan sættes i en-til-en korrespondance med naturlige (dvs.. E. 1, 2, 3 ,. D.). Han viste, at mængden af reelle tal, der består af en rationel og irrationel, og utallige uendelige. Hvilket paradoks, Cantor bevist, at det sæt af alle algebraiske tal indeholder så mange elementer som det sæt af alle heltal, og at transcendental numre, som ikke er algebraiske, som er en delmængde af irrationelle tal er utallige, og dermed deres antal er større end de hele tal og bør betragtes som uendelig.

Modstandere og tilhængere

Men jobbet Cantor, hvor han først fremsat resultaterne, blev ikke offentliggjort i "Krell" magasin som en af korrekturlæserne, blev Kronecker imod. Men efter indgriben fra Dedekind det blev offentliggjort i 1874 under titlen "De karakteristiske træk ved alle reelle algebraiske tal."

Videnskab og personlige liv

I samme år, i løbet af bryllupsrejse med sin kone, Valli Gutman i Interlaken, Schweiz, Cantor mødte Dedekind som venligt kommenterede sin nye teori. George løn var lille, men med de penge hans far, der døde i 1863, havde han bygget til sin kone og fem børn hjem. Mange af hans værker er blevet offentliggjort i Sverige i det nye tidsskrift Acta Mathematica, redaktør og grundlægger af som var Gösta Mittag-Leffler, blandt de første til at erkende talent af den tyske matematiker.

Kommunikation med metafysik

Teori Cantor var helt ny genstand for forskning vedrørende matematik uendelig (fx sekvensen 1, 2, 3 ,. D., Og mere komplekse sæt), hvilket i høj grad afhængig en-til-en overensstemmelse. Cantor Udvikling af nye metoder til at sætte spørgsmål vedrørende kontinuitet og uendelighed lånte sine studier blandet.

Da han hævdede, at uendelige tal virkelig eksisterer, vendte han sig til den antikke og middelalderlige filosofi med hensyn til faktiske og potentielle uendelighed, samt til den tidlige religiøse uddannelse, som forældrene gav ham. I 1883, i sin bog "Grundprincipper for generel teori om sæt" Kantor kombineret hans begreb om metafysik Platon.

Kroneckers også, som hævdede, at "der er" kun heltal ( "Gud skabte heltal, resten - arbejdet i mennesket"), i mange år stærkt afviste hans argumenter og forhindrede hans udnævnelse til universitetet i Berlin.

transfinite tal

I 1895-1897 gg. Georg Cantor fuldt dannet hans idé om kontinuitet og uendelighed, herunder en endeløs sekvens og kardinaltal, i hans mest berømte værk, udgivet under titlen "Bidrag til teorien om transfinite numre" (1915). Dette arbejde omfatter hans opfattelse, som han førte en demonstration af, at en uendelig sæt kan leveres i en en-til-en korrespondance med en af sine delmængder.

Det mindste transfinite kardinal nummer betød han magt ethvert sæt, som kan sættes i en-til-en korrespondance med de naturlige tal. Kantor beskrev sin aleph-nul. Store transfinite flerhed Alef-udpeget én, to eller Aleph-t. D. Det videreudvikles aritmetiske ordenstal, som var magen til den endelige aritmetik. Således har han beriget begrebet uendelighed.

Oppositionen står han, og den tid det tog at sikre, at hans ideer var fuldt accepteret, forklarede kompleksiteten af opskrivningen af den gamle spørgsmål om, hvad er nummeret. Kantor viste, at et sæt af punkter på linien har en højere kapacitet end Aleph-nul. Dette førte til det velkendte problem med kontinuumhypotesen - ingen kardinaler mellem aleph-nul og ingen magt punkter på linjen. Problemet i den første og anden halvdel af det 20. århundrede er af stor interesse og er blevet undersøgt af mange matematikere, i bind. H. Kurt Gödel og Paul Cohen.

depression

Biografi Georga Kantora 1884 blev skæmmet af hans begyndende psykisk sygdom, men han fortsatte med at arbejde aktivt. I 1897 hjalp han til at holde den første internationale kongres af Matematikere i Zürich. Dels fordi han var imod Kronecker, han ofte sympatiserede med de unge spirende matematikere og forsøgt at finde en måde at redde dem fra chikane fra lærere, der føler sig truet af nye ideer.

anerkendelse

Ved århundredeskiftet hans arbejde var fuldt anerkendt som grundlag for teorien om funktioner, analyse og topologi. Desuden Kantora Georga bog tjente som en drivkraft for yderligere udvikling af den formalistiske og intuitionist skole af logiske grundlaget for matematik. Dette har ændret sig væsentligt systemet med undervisning og er ofte forbundet med den "nye matematik."

I 1911 Cantor var blandt dem, inviteret til fejringen af 500-året for University of St. Andrews i Skotland. Han gik der håb om at møde Bertrand Russell, der i sin nyligt offentliggjorte værk Principia Mathematica gentagne gange henvist til den tyske matematiker, men det skete ikke. University tildelt Cantor en honorær grad, men på grund af sygdom, han var ude af stand til at acceptere prisen personligt.

Cantor pensioneret i 1913 og levede i fattigdom og sultende under Første Verdenskrig. Festlighederne i anledning af hans 70 års fødselsdag i 1915 blev aflyst på grund af krig, men en lille ceremoni blev afholdt i sit hjem. Han døde på 1918/06/01 i Galle, på et psykiatrisk hospital, hvor han tilbragte de sidste år af sit liv.

Georg Cantor: En biografi. familie

August 9, 1874 den tyske matematiker gift Valli Gutman. Parret havde 4 sønner og 2 døtre. Det sidste barn blev født i 1886 i Cantor købt et nyt hjem. Støt familien hjalp han sin fars arv. Sundheden for Cantor i høj grad påvirket af drabet på sin yngste søn i 1899 - da det aldrig forladt depression.