Konvekse polygoner. Definition af en konveks polygon. Diagonaler en konveks polygon

Disse geometriske former er alle omkring os. Konvekse polygoner er naturlige, såsom en honeycomb eller kunstig (menneskeskabt). Disse tal benyttes ved produktion af forskellige typer af belægninger i kunst, arkitektur, ornamenter osv Konvekse polygoner har den egenskab, at deres punkter ligger på den ene side af en lige linje, der passerer gennem par tilstødende knudepunkter af den geometriske figur. Der er andre definitioner. Det kaldes den konvekse polygon, der er anbragt i et enkelt halvplan med hensyn til enhver lige linje indeholder et af dens sider.

konvekse polygoner

I løbet af elementære geometri behandles altid ekstremt simple polygoner. For at forstå egenskaberne for geometriske figurer , du har brug for at forstå deres natur. Til at begynde at forstå, at lukket er enhver linje, hvis ender er de samme. Og det er dannet af den figur, kan have en række forskellige konfigurationer. Polygon kaldes simpel lukket polylinje hvis tilstødende enheder er ikke placeret på en lige linje. Dens links og knuder er henholdsvis siderne og toppen af den geometriske figur. En simpel polylinje må ikke skærer sig selv.

knudepunkter for polygonen kaldes naboer, hvis de er enderne af en af dens sider. En geometrisk figur, som har en n'te antal knudepunkter, og dermed det n'te antal parter kaldes n-kant. Selv stiplede linie er grænsen eller konturen af den geometriske figur. Polygonalt fly eller flad polygon kaldes den sidste del af en hvilken som helst fly, deres begrænsede. Tilstødende sider af geometrisk figur kaldet polyliniepunkter segmenter, der stammer fra den samme toppunkt. De vil ikke være naboer, hvis de er baseret på forskellige knudepunkter for polygonen.

Andre definitioner af konvekse polygoner

I elementær geometri, der er flere tilsvarende i betydning definitioner, der angiver, hvad der kaldes en konveks polygon. Desuden er alle disse udsagn er også sandt. En konveks polygon er den, der har:

• hvert segment, der forbinder to vilkårlige punkter inden for det, ligger helt i det;

• deri ligger alle dens diagonaler;

• alle indvendige vinkel ikke er større end 180 °.

Polygon opdeler altid flyet i to dele. En af dem - den begrænsede (det kan være anbragt i en cirkel), og den anden - ubegrænset. Den første kaldes det indre område, og den anden - det ydre område af den geometriske figur. Dette er skæringspunktet mellem polygonen (med andre ord - den samlede komponent) flere halvplaner. Således hvert segment har ender på punkter, som hører til en polygon hører helt til ham.

Sorter af konvekse polygoner

Definition konveks polygon indikerer ikke, at der er mange former for dem. Og hver af dem har visse kriterier. Således konvekse polygoner, som har en indvendig vinkel på 180 °, omhandlet let konveks. Den konvekse geometrisk figur, der har tre toppe, kaldes en trekant, fire - firkantet, fem - femkant, etc. Hver af den konvekse n-Gons opfylder følgende vigtige krav: .. N skal være lig med eller større end 3. Hver af trekanterne er konveks. Den geometriske figur af denne type, hvor alle knuder er placeret på en cirkel, der kaldes den indskrevne cirkel. Beskrevet konveks polygon kaldes, hvis alle dens sider omkring en cirkel til at røre hende. To polygoner kaldes lig kun i tilfældet ved anvendelse af overlægget kan kombineres. Flad polygon kaldes polygonal plan (a plane del), som denne begrænsede geometrisk figur.

Regelmæssige konvekse polygoner

Regulære polygoner kaldes geometriske former med lige store vinkler og sider. Inde dem der er et punkt 0, hvilket er den samme afstand fra hver af sine knudepunkter. Det kaldes centrum for den geometriske figur. Linjer, der forbinder centrum med knudepunkter af den geometriske figur kaldet apothem, og dem, der tilslutter punkt 0 med parterne - radier.

Korrekt rektangel - firkantet. Ligesidet trekant kaldes ligesidet. For sådanne former er følgende regel: hver konveks polygon vinkel er 180 ° * (n-2) / n,

hvor n - antal knudepunkter af den konvekse geometrisk figur.

Areal af alle regulær polygon bestemmes ved formlen:

S = p * h,

hvor p er lig med halvdelen af summen af alle sider af polygonen, og h er længden apothem.

Egenskaber konvekse polygoner

Konvekse polygoner har visse egenskaber. Således det segment, der forbinder to vilkårlige punkter af en geometrisk figur, nødvendigvis placeret i det. bevis:

Antag, at P - den konvekse polygon. Tag to vilkårlige punkter, for eksempel, A og B, som hører til P. Ved den nuværende definition af en konveks polygon, disse punkter er placeret i den ene side af den rette linje, der indeholder en hvilken som helst retning R. Derfor AB har også denne egenskab, og er indeholdt i R. En konveks polygon altid kan opdeles i flere trekanter absolut alle de diagonaler, som holdt en af sine knudepunkter.

Angles konvekse geometriske former

De vinkler af en konveks polygon - er vinkler, der dannes af parterne. Indvendige hjørner er i det indvendige område af geometrisk figur. Vinklen, som dannes af siderne der løber sammen i et hjørne, kaldet vinkel af den konvekse polygon. Hjørner støder til de interne hjørner af den geometriske figur, kaldet eksterne. Hvert hjørne af en konveks polygon, anbragt inde i det, er:

180 ° - x

hvor x - værdi udvendige hjørne. Denne enkle formel gælder for enhver form for geometriske figurer sådanne.

Generelt, udvendige hjørner findes følgende regel: hver konveks polygon vinkel lig med forskellen mellem 180 ° og værdien af den indvendige vinkel. Det kan have værdier i området fra -180 ° til 180 °. Derfor ved den indvendige vinkel er 120 °, vil udseendet have en værdi på 60 °.

Summen af vinklerne i konvekse polygoner

Summen af de indvendige vinkler af en konveks polygon etableres ved formlen:

180 ° * (n-2),

hvor n - antal knudepunkter af n-gon.

Summen af vinklerne i en konveks polygon beregnes ganske enkelt. Behandler enhver sådan geometrisk form. For at bestemme summen af vinklerne i en konveks polygon brug for at forbinde en af sine knudepunkter til andre knudepunkter. Som følge af denne handling fik (n-2) af trekanten. Det er kendt, at summen af vinklerne i enhver trekant er altid 180 °. Fordi deres antal i enhver polygon er lig (n-2), summen af de indvendige vinkler af figuren er lig 180 ° x (n-2).

Beløbe konvekse polygon hjørner, nemlig to tilstødende interne og eksterne vinkler i forhold til dem, i dette konvekse geometrisk figur vil altid være lig med 180 °. På dette grundlag kan vi bestemme summen af alle dens hjørner:

180 x n.

Summen af de indvendige vinkler er 180 ° * (n-2). Følgelig summen af alle de yderste hjørner af figuren angivet ved formlen:

180 ° * n-180 ° - (n-2) = 360 °.

Summen af de udvendige hjørner af enhver konveks polygon vil altid være lig med 360 ° (uanset antallet af sider).

Uden hjørne af en konveks polygon er generelt repræsenteret ved forskellen mellem 180 ° og værdien af den indvendige vinkel.

Andre egenskaber af en konveks polygon

Ud over de basale egenskaber af geometriske figurer data, de har også andre, der opstår, når du håndterer dem. Således kan enhver af polygoner opdeles i multiple konveks n-Gons. For at gøre dette, fortsætte med at hver af dens sider og skær den geometriske form efter disse rette linjer. Split enhver polygon i flere konvekse dele er muligt, og så toppen af hvert af stykkerne falde sammen med alle dets knudepunkter. Fra en geometrisk figur kan være meget simpelt at gøre trekanter gennem alle diagonaler fra en vinkelspids. En hvilken som helst polygon, i sidste ende, kan opdeles i en række trekanter, som er meget nyttig i at løse forskellige opgaver relateret til sådanne geometriske former.

Perimeteren af den konvekse polygon

De segmenter af polylinje, polygon såkaldte partier, ofte angivet med følgende bogstaver: ab, bc, cd, de, ea. Denne side af en geometrisk figur med knudepunkter a, b, c, d, e. Summen af længderne af siderne i en konveks polygon kaldes dens omkreds.

Omkredsen af polygonen

Konvekse polygoner kan indtastes og beskrevet. Cirkel tangent til alle sider af geometrisk figur, kaldet den indskrevne ind i det. Denne polygon kaldes beskrevet. Midtercirklen som er indskrevet i polygonen er en skæringspunktet af bisectors af vinkler inden for en given geometrisk form. Det område af polygon er lig med:

S = p * r,

hvor r - radius af den indskrevne cirkel, og p - semiperimeter denne polygon.

En cirkel, som indeholder de polygon knuder, kaldet beskrevet nærheden af det. Endvidere kaldet denne konvekse geometrisk figur indskrevet. Cirkelcentrum, der er beskrevet om sådan en polygon er en såkaldt skæringspunkt midperpendiculars alle sider.

Diagonal konvekse geometriske former

Diagonaler en konveks polygon - et segment, der forbinder ikke tilstødende toppunkter. Hver af dem er inde i denne geometrisk figur. Antallet af diagonaler n-kant er indstillet i overensstemmelse med formlen:

N = n (n - 3) / 2.

Antallet af diagonaler i en konveks polygon spiller en vigtig rolle i elementær geometri. Antallet af trekanter (K), som kan bryde hver konvekse polygon, beregnet efter følgende formel:

K = n - 2.

Antallet af diagonaler i en konveks polygon altid er afhængig af antallet af knuder.

Partition af en konveks polygon

I nogle tilfælde, for at løse geometri opgaver er nødvendige for at bryde en konveks polygon i flere trekanter med ikke-krydsende diagonaler. Dette problem kan løses ved at fjerne en vis formel.

Definition af problemet: kalder rigtige form for deling af en konveks n-kant i flere trekanter af diagonaler, der skærer kun ved knudepunkter af en geometrisk figur.

Opløsning: Antag, at P1, P2, P3, ..., Pn - toppen af n-gon. Nummer Xn - antallet af partitioner. Nøje overveje den resulterende diagonal geometrisk figur Pi Pn. I ethvert af de regelmæssige partitioner tilhører P1 Pn til en bestemt trekant P1 Pi Pn, hvor 1

Lad i = 2 er en gruppe af regelmæssige skillevægge, altid indeholder diagonal P2 Pn. Antallet af afsnit, der er inkluderet i det, der er lig med antallet af partitioner (n-1) Gon P2 P3 P4 ... Pn. Med andre ord, det er lig med Xn-1.

Hvis i = 3 og derefter de andre gruppemedlemmer partitioner vil altid indeholde en diagonal P3 P1 og P3 Pn. Antallet af korrekte partitioner, der er indeholdt i gruppen, vil falde sammen med antallet af skillevægge (n-2) Gon P3, P4 ... Pn. Med andre ord vil det være Xn-2.

Lad i = 4 og derefter trekanterne blandt korrekte partition er bundet til at indeholde en trekant P1 Pn P4, som vil støde op til firkanten P1 P2 P3 P4, (n-3) Gon P5 P4 ... Pn. Antallet af korrekte partitioner sådan firsidede lig X4, og antallet af partitioner (n-3) Gon lig Xn-3. På baggrund af ovenstående, kan vi sige, at det samlede antal af regelmæssige partitioner, der er indeholdt i denne gruppe svarer Xn-3 X4. Andre grupper, hvori i = 4, 5, 6, 7 ... vil indeholde 4 Xn-X5, Xn-5 X6, Xn-6 ... X7 regelmæssige partitioner.

Lad i = n-2, antallet af korrekte skillevægge i en given gruppe vil falde sammen med antallet af afsnit i gruppen, hvori i = 2 (med andre ord, er lig med Xn-1).

Idet X1 = X2 = 0, X3 = 1 og X4 = 2, ..., antallet af partitioner af konvekse polygon er:

Xn = xn-1 + xn-2 + xn-3, xn-X4 + X5 + 4 ... + X5 + 4 xn-Xn-X 4 + 3 + 2 Xn-Xn-1.

eksempel:

X5 = X4 + X3 + X4 = 5

X6 = X4 + X5 + X4 + X5 = 14

X7 + X5 = X6 + X4 * X4 + X5 + X6 = 42

X7 = X8 + X6 + X4 * X5 + X4 * X5 + X6 + X7 = 132

Antallet af korrekte partitioner skærer inden for en diagonal

Når kontrol individuelle tilfælde, kan det antages, at antallet af diagonaler konveks n-kant er lig med produktet af alle partitioner af dette diagram mønster (n-3).

Beviset for denne antagelse: Antag at P1n = Xn * (n-3), så enhver n-kant kan opdeles i (n-2) er en trekant. I dette tilfælde kan stables en af dem (n-3) -chetyrehugolnik. Samtidig, hver firkant er diagonal. Da denne konvekse geometrisk figur to diagonaler kan udføres, hvilket betyder, at der under alle (n-3) -chetyrehugolnikah kan foretage yderligere diagonal (n-3). På dette grundlag kan vi konkludere, at i enhver ordentlig partition har en mulighed for at (n-3) -diagonali opfylder kravene i denne opgave.

Område konvekse polygoner

Ofte i at løse forskellige problemer i elementær geometri er der behov for at bestemme arealet af en konveks polygon. Antag at (Xi. Yi), i = 1,2,3 ... n betegner en sekvens af koordinater for alle de tilstødende knudepunkter for polygonen, der ikke har nogen selv-kryds. I dette tilfælde er dens areal beregnes ved følgende formel:

_{S = ½ (Σ (Xi} + Xi + ₁₎ (Y _{i +} Y _i + _1)),

hvor _{(X1, Y1) = (X n +1 Y} n + _1).