Nash-ligevægt. Theory of Games for Economists (John Nash)

I 1930'erne blev John von Neumann og Oscar Morgenstern grundlæggerne af et nyt interessant felt inden for matematik, som blev kaldt "spilteori". I 1950'erne blev den unge matematiker John Nash interesseret i denne retning. Teori om ligevægt blev temaet for hans afhandling, som han skrev da han var 21 år gammel. Således blev en ny strategi for spil kaldet "Nash Equilibrium" født, som vandt Nobelprisen mange år senere - i 1994.

Den lange kløft mellem at skrive en afhandling og universel anerkendelse blev en test for en matematiker. Geni uden tilståelse resulterede i alvorlige psykiske krænkelser, men denne opgave John Nash var i stand til at løse takket være et smukt logisk sind. Hans teori om "Nash-ligevægt" blev tildelt Nobelprisen og hans tilpasningsliv i filmen "Smukt sind".

Kort om teori om spil

Da Nash-ligevægtsteorien forklarer menneskers adfærd under interaktionsbetingelserne, er det derfor værd at overveje de grundlæggende begreber i spilteori.

Spillteorien studerer deltagernes adfærd (agenter) under forhold med hinanden ved hjælp af typen af spil, hvor resultatet afhænger af flere menneskers beslutning og adfærd. Deltagerne træffer beslutninger baseret på hans forudsigelser om resten af opførelsen, som kaldes spilstrategien.

Der er også en dominerende strategi, hvor deltageren får det optimale resultat for andre deltagers adfærd. Dette er den bedste win-win-strategi for spilleren.

Fangeens dilemma og videnskabelige gennembrud

Fangens dilemma er et spil tilfælde, hvor deltagerne er nødt til at træffe rationelle beslutninger, opnå et fælles mål i konflikt betingelsen af alternativer. Spørgsmålet er, hvilke af disse muligheder han vælger, realiserer sin personlige og generelle interesse, såvel som manglende evne til at få begge. Spillere synes at være indkapslet i hårde spilforhold, hvilket til tider gør dem til at tænke meget produktivt.

Dette dilemma blev undersøgt af den amerikanske matematiker John Nash. Den ligevægt, som han har afledt, er blevet revolutionerende på sin egen måde. Særligt lyst har denne nye tanke påvirket økonomernes mening om, hvordan markedsaktørerne træffer et valg under hensyntagen til andres interesser med tæt samspil og interessekryds.

Det er bedst at studere teori om spil på specifikke eksempler, da denne matematiske disciplin i sig selv ikke er en teoretisk.

Eksempel på en fange dilemma

For eksempel har to personer begået røveri, faldt i politiets hænder og bliver forhørt i separate celler. Samtidig tilbyder politimyndighederne hver part gunstige betingelser, hvorunder han vil blive frigivet i tilfælde af vidneudsagn mod sin partner. Hver af de kriminelle har følgende sæt strategier, som han vil overveje:

1. Begge giver samtidig vidnesbyrd og modtager 2,5 år i fængsel.
2. Begge er tavse på samme tid og modtager 1 år, da i dette tilfælde bevismateriale af deres skyld vil være lille.
3. Den ene giver vidnesbyrd og får frihed, og den anden er tavs og modtager 5 års fængsel.

Selvfølgelig afhænger resultatet af sagen på begge deltageres beslutning, men de kan ikke nå til enighed, fordi de sidder i forskellige celler. Også klart set er konflikten med deres personlige interesser i kampen for fælles interesse. Hver fange har to muligheder for handling og 4 muligheder for resultater.

Kæden af logiske inferences

Så den kriminelle A overvejer følgende muligheder:

1. Jeg er tavs og min partner er tavs - vi får begge 1 års fængsel.
2. Jeg vender mig ind i en partner, og han overgiver mig - vi får begge 2,5 års fængsel.
3. Jeg er stille, og min partner giver mig op - jeg får 5 års fængsel, og han er fri.
4. Jeg overleverer en partner, men han er tavs - jeg får frihed, og han er 5 år i fængsel.

Vi giver en matrix af mulige løsninger og resultater for klarhed.

Tabel over sandsynlige resultater af fangeens dilemma.

Spørgsmålet er, hvad skal hver deltager vælge?

"Stilhed, du kan ikke tale" eller "du kan ikke tavse, du kan ikke tale"

For at forstå deltagernes valg skal du gennemgå en kæde af hans refleksioner. Efter den kriminelle A's argumentation: Hvis jeg tavser og tavser min partner, får vi et minimumsperiode (1 år), men jeg kan ikke finde ud af, hvordan han vil opføre sig. Hvis han giver vidnesbyrd mod mig, så er det også bedre for mig at vidne, ellers kan jeg sidde i 5 år. Det er bedre for mig at sidde i 2,5 år, end i 5 år. Hvis han ikke siger noget, så meget mere, jeg skal give vidnesbyrd, for det er sådan, jeg får frihed. På samme måde argumenterer deltager B også.

Det er ikke svært at forstå, at den dominerende strategi for hver af de kriminelle er at give bevis. Det optimale punkt i dette spil kommer, når begge kriminelle giver bevis og modtager deres "præmie" - 2,5 år i fængsel. Spilteori Nash kalder det en ligevægt.

Utilstrækkelig Optimal Nash Solution

Den revolutionerende karakter af Nashev-synspunktet er, at en sådan ligevægt ikke er optimal, hvis man overvejer den enkelte deltager og hans personlige interesse. Tross alt er den bedste mulighed at forblive tavs og gå fri.

Nash-ligevægt er et fælles interessepunkt, hvor hver deltager vælger en mulighed, der kun er optimal for ham, hvis de andre deltagere vælger en bestemt strategi.

I betragtning af muligheden, når begge kriminelle er tavse og kun modtager 1 år, kan du kalde det Pareto-optimal mulighed. Det er dog kun muligt, hvis de kriminelle kunne have arrangeret på forhånd. Men selv dette ville ikke garantere dette resultat, da fristelsen til at vende tilbage fra overtalelse og undgå straf er stor. Manglen på fuldstændig tillid til hinanden og risikoen for at få 5 år gør det nødvendigt at vælge en variant med anerkendelse. At reflektere over det faktum, at deltagerne vil holde sig til valgmuligheden med stilhed, handler i koncert, er simpelthen irrationel. En sådan konklusion kan foretages, hvis vi studerer Nash-ligevægten. Eksemplerne viser kun sandheden.

Selvisk eller rationel

Nashs teori om ligevægt gav fantastiske konklusioner, der afviser de eksisterende principper. For eksempel viste Adam Smith opførelsen af hver af deltagerne som fuldstændig egoistisk, som bragte systemet i ligevægt. Denne teori blev kaldt den "usynlige hånd på markedet."

John Nash så, at hvis alle deltagere optræder og kun forfølger deres egne interesser, vil det aldrig føre til et optimalt grupperesultat. I betragtning af at rationel tænkning er iboende for hver deltager, er valget, som Nash-ligevægtsstrategien tilbyder, mere sandsynligt.

Rent mandligt eksperiment

Et levende eksempel er spillet "en blondes paradoks", som, selv om det forekommer upassende, er en levende illustration, der viser, hvordan Nashs spilteori virker.

I dette spil er du nødt til at forestille dig, at selskabet med gratis fyre kom til baren. Nærliggende er en virksomhed med piger, hvoraf den ene er at foretrække for andre, lad os sige en blondine. Hvordan leder fyre sig selv for at få den bedste kæreste til sig selv?

Så grunden til gutterne: Hvis alle begynder at blive bekendt med blondinen, så vil hun sandsynligvis ikke komme til nogen, så vil hendes venner ikke gerne mødes. Ingen ønsker at være den anden reserve mulighed. Men hvis gutterne vælger at undgå blonde, så er sandsynligheden for, at hver af gutterne finder en god kæreste blandt piger, høj.

Situationen for Nash-ligevægt er ikke optimal for fyre, for alene at forfølge deres egen egoistiske interesser vil alle vælge en blondine. Det kan ses, at udøvelsen af kun egoistiske interesser vil svare til sammenbruddet af gruppens interesser. Ligevægt ifølge Nash betyder, at hver fyr optræder i sine egne personlige interesser, som kommer i kontakt med hele gruppens interesser. Dette er en ikke-optimal mulighed for alle personligt, men optimalt for alle, baseret på en overordnet successtrategi.

Hele vores liv er et spil

Beslutningstagning i reelle forhold ligner meget spillet, når du forventer en vis rationel adfærd fra andre deltagere. I erhvervslivet, i arbejde, i et hold, i et firma og endda i et forhold med det modsatte køn. Fra store transaktioner til normale livssituationer overholder alt loven.

Selvfølgelig er de betragtede spilssituationer med kriminelle og en bar bare fremragende illustrationer, der demonstrerer Nash-ligevægten. Eksempler på sådanne dilemmaer opstår meget ofte på det virkelige marked, og især fungerer det i tilfælde med to monopolister, der styrer markedet.

Blandede strategier

Ofte er vi involverede ikke i en, men i flere spil. Vælge en af mulighederne for et spil, styret af en rationel strategi, men du kommer ind i et andet spil. Efter flere rationelle beslutninger kan du opleve, at dit resultat ikke passer dig. Hvad skal man gøre?

Overvej to typer strategier:

• En ren strategi er en deltagers adfærd, der går ud fra at tænke på andre deltagers mulige adfærd.
• En blandet strategi eller tilfældig strategi er alternerende rene strategier tilfældigt eller vælger en ren strategi med en vis sandsynlighed. Denne strategi kaldes også randomiseret.

I betragtning af denne adfærd får vi et nyt kig på ligevægten over Neshu. Hvis du tidligere sagde, at spilleren vælger en strategi en gang, så kan du forestille dig en anden adfærd. Du kan tillade muligheden for, at spillere vælger en strategi tilfældigt med en vis sandsynlighed. Spil, hvor man ikke kan finde Nash-ligevægten i rene strategier, har dem altid blandet.

Nash-ligevægt i blandede strategier kaldes blandet ligevægt. Dette er en ligevægt, hvor hver deltager vælger den optimale frekvens for at vælge deres strategier, forudsat at andre deltagere vælger deres strategier ved en given frekvens.

Straffe og blandet strategi

Et eksempel på en blandet strategi kan gives i et fodboldspil. Den bedste illustration af en blandet strategi er måske en straffesparkskonkurrence. Så vi har en målmand, der kun kan hoppe i et hjørne og en spiller der vil slå en straf.

Så hvis spilleren for første gang vælger en strategi at slå et slag i venstre hjørne, og målmanden også kommer ind i dette hjørne og fanger bolden, hvordan kan begivenheder udvikle sig for anden gang? Hvis en spiller rammer det modsatte hjørne, er det nok for indlysende, men slag i samme hjørne er ikke mindre indlysende. Derfor har både målmanden og angriberen ikke andet valg end at stole på tilfældigt valg.

Så, skiftende tilfældigt valg med en bestemt ren strategi, forsøger spilleren og målmanden at opnå det maksimale resultat.