Som differentialkvotienten af cosinus output

Den afledte af cosinus er lig den afledte af sinus grundlag af beviser - definition af grænsen funktion. Det er muligt at bruge en anden metode ved hjælp af trigonometriske formler for kørsel sinus og cosinus vinkler. Hurtig én funktion efter den anden - gennem en sinus cosinus, sinus, og differentiere med komplekse argument.

Overvej det første eksempel på outputtet med formlen (Cos (x)) '

Giv ubetydelig forøgelse Ah argument x af y = Cos (x). Hvis den nye værdi af argumentet x + Ah opnå en ny værdi Cos funktion (x + Ah). Så tilvækst Au funktion vil være lig med Cos (x + Ax) -Cos (x).
Forholdet mellem tilvækst funktion vil være sådan en Ah: (Cos (x + Ax) -Cos (x)) / Ah. Tegne identitet transformationer resulterer i tælleren af fraktionen. Recall formel forskel cosines, resultatet er et arbejde -2Sin (Ah / 2) ganget med Sin (x + Ah / 2). Vi finder den grænse lim privat dette produkt ved Ah når Ah tendens til nul. Det er kendt, at den første (kaldet bemærkelsesværdig) grænse lim (Sin (Ah / 2) / (Ah / 2)) er lig med 1, og begrænse -sin (x + Ah / 2) er lig -sin (x), når Ax, tendens til nul.
Vi skriver resultatet: differentialkvotienten (Cos (x)) 'er - Sin (x).

Nogle foretrækker den anden fremgangsmåde til at udlede den samme formel

Kendt fra trigonometri: Cos (x) er lig Sin (0,5 · Π-x) på lignende Sin (x) er Cos (0,5 · Π-x). Derefter differentiable kompleks funktion - sinus til en yderligere vinkel (i stedet X cosinus).
Vi opnå produktet Cos (0,5 · Π-x) · (0,5 · Π-x)', for den afledte af sinus cosinus af x er x. Adgang til en anden formel Sin (x) = Cos (0,5 · Π-x), som erstatter cosinus og sinus, mener, at (0,5 · Π-x) = -1. Nu får vi -sin (x).
Så tage den afledte af cosinus Vi = -sin (x) for funktionen y = Cos (x).

Den afledte af cosinus kvadreret

En hyppigt anvendt eksempel anvendes, hvor differentialkvotienten af cosinus. Funktionen y = Cos ² (x) kompleks. Vi finder det første forskellen power funktion med eksponent 2, der er 2 · Cos (x), så er det ganges med derivat (Cos (x))', som er lig -sin (x). Opnå y '= -2 · Cos (x) · sin (x). Når relevant Sin formlen (2 · x), sinus til den dobbelte vinkel, opnå den endelige forenklet
respons y '= -sin (2 · x)

hyperbolske funktioner

Anvendt på studiet af mange tekniske discipliner i matematik, for eksempel gøre det lettere at beregne integraler, løsning af differentialligninger. De er udtrykt som trigonometriske funktioner med imaginære argumenter, så hyperbolske cosinus lm (x) = Cos (i · x) når jeg - er en imaginær enhed, hyperbolsk sinus sh (x) = Sin (i · x).
Hyperbolske cosinus beregnes simpelthen.
Overveje funktionen y ^{= (e x + e -x)} / 2, er den hyperbolske cosinus lm (x). Brug af reglen om at finde et derivat summen af to udtryk, fjernelse sædvanligvis konstant multiplikator (Const) for tegn på derivat. Den anden periode på 0,5 · e ^-x - kompleks funktion (dens derivat er -0.5 · e ^-x), 0,5 · f ^x - det første led. (Lm (x)) '= ((e ^x + e ^{- x)} / 2)' kan skrives forskelligt: (0,5 · e · ^x + 0,5 e ^{- x)} '= 0,5 · e ^x -0,5 · e ^{- x,} fordi derivatet (e ^{- x)} 'er lig med -1, at umnnozhennaya e ^{- x.} Resultatet var en forskel, og dette er hyperbolsk sinus sh (x).
Konklusion: (lm (x)) '= sh (x).
Rassmitrim et eksempel på, hvordan man beregner afledede af funktionen y = lm (x ³ 1).
Ved differentiering regel hyperbolske cosinus med komplekse argument y '= sh (x ³ + 1) · (x ³ + 1)', hvor (x ³ + 1) = 3 · x ² + 0.
A: Den afledte af denne funktion er lig med 3 · x ² · sh (x ³ 1).

Derivater diskuteret funktioner y = lm (x) og y = Cos (x) tabel

Ved afgørelsen af eksemplerne er ikke nødvendigt hver gang at adskille dem om den foreslåede ordning, bruge outputtet nok.
Eksempel. Differentiere funktionen y = Cos (x) + Cos ² (-x) -CH (5 · x).
Det er let at beregne (brug tabelform data), y '= -sin (x) + Sin (2 · x) -5 · Sh (x · 5).