Simpel iteration metode til at løse systemer af lineære ligninger (Slough)

Enkel iteration metode, også kaldet metoden til successiv tilnærmelse, - en matematisk algoritme til at finde værdierne af ukendt værdi gennem en gradvis afklare det. Essensen af denne metode er, at, som navnet antyder, er gradvist ved at udtrykke en indledende tilnærmelse til den efterfølgende dem, bliver mere raffineret resultater. Denne metode anvendes til at finde værdien af variablen i en given funktion, og løse systemer af ligninger, både lineære og ikke-lineære.

Lad os se, hvordan denne metode er implementeret i løsningen af lineære systemer. fast punkt iteration algoritme er som følger:

1. Kontroller tilstanden af konvergens i den oprindelige matrix. En konvergens sætning: hvis den oprindelige matrix af systemet er diagonalt dominerende (dvs. hver række af elementer i hoveddiagonalen skal være større i størrelse end summen af elementerne sidediagonaler i absolut værdi), hvilken fremgangsmåde af simple iterationer - konvergent.

2. Matricen af det oprindelige system er ikke altid den diagonale overvægt. I et sådant tilfælde, at systemet kan omdannes. Ligningerne som tilfredsstiller konvergenstilstand efterlades intakt, med utilfredsstillende og gøre lineære kombinationer, dvs. formere, trække, ligning foldet sammen for at frembringe det ønskede resultat.

Hvis den modtagne system på hoveddiagonalen er ubekvemme faktorer, derefter til begge sider af denne ligning tilsættes med hensyn til form _i * x _I, som falder sammen med tegnene tegn på de diagonale elementer.

3. Konvertering det resulterende system til normal visning:

^{x - = β - + α *} x -

Dette kan gøres på mange måder, for eksempel som følger: den første ligning til at udtrykke x ₁ gennem andre unknown fra vtorogo- x _2, x _3. tretego- etc. vi således anvendelse af formlen:

_{α ij = - (a ij /} a ii)

_i = _bi / a _ii
Sørg igen at det resulterende system af normale type svarer til konvergens stand:

Σ (j = 1) | α _ij | ≤ 1, og i = 1,2, ... n

4. Begynd at anvende, faktisk, metoden til successive tilnærmelser.

x ⁽⁰⁾ - indledende tilnærmelse udtrykker vi derigennem x ^(1), efterfulgt af x ⁽¹⁾ x express ^(2). Den almene formel for en matrixform som følger:

x ^{(N) = β - + α} * x (n ¹⁾

Vi beregner, indtil vi når den ønskede nøjagtighed:

_{max | x i (k) -x} jeg (k + 1) ≤ ε

Så lad os se det i praksis, metoden til enkel iteration. eksempel:
Løse lineære systemer:

4,5x1-1.7x2 + 3.5x3 = 2
3.1x1 + 2.3x2-1.1x3 = 1
1.8x1 + 2.5x2 + 4.7x3 = 4 med nøjagtighed ε = 10 ^-3

Se sejre hvis de diagonale elementer i modulet.

Vi ser, at konvergensen betingelse opfylder kun den tredje ligning. Den første og anden transformere, den første ligning, vi tilføjer to:

7,6x1 + 0.6x2 + 2.4x3 = 3

Træk fra det tredje:

-2,7x1 + 4.2x2 + 1.2x3 = 2

Vi har forvandlet det oprindelige system i det, der svarer:

7,6x1 + 0.6x2 + 2.4x3 = 3
-2,7x1 + 4.2x2 + 1.2x3 = 2
1.8x1 + 2.5x2 + 4.7x3 = 4

Nu reducerer vi systemet til normal visning:

x1 = 0.3947-0.0789x2-0.3158x3
x2 = 0,4762 + 0.6429x1-0.2857x3
x3 = 0.8511-0.383x1-0.5319x2

Vi tjekker konvergensen af den iterative proces:

0,0789 + 0,3158 = 0,3947 ≤ 1
0,6429 + 0,2857 = 0,9286 ≤ 1
0.383+ 0,5319 = 0,9149 ≤ 1, dvs. betingelsen er opfyldt.

0,3947
Indledende tilnærmelse x ⁽⁰⁾ = 0,4762
0,8511

Erstatte disse værdier i ligningen er af sædvanlig type, vi opnå følgende værdier:

0,08835
x ⁽¹⁾ = 0,486793
0.446639

Stedfortræder nye værdier, får vi:

0.215243
x ⁽²⁾ = 0,405396
0.558336

Vi fortsætter med at beregne, indtil indtil du kommer tættere på de værdier, der opfylder nærmere angivne betingelser.

0,18813

x ⁽⁷⁾ = 0,441091

0.544319

0.188002

x ⁽⁸⁾ = 0,44164

0.544428

Tjek rigtigheden af resultaterne:

4,5 * 0,1880 -1,7 * 0,441 + 3,5 * 0,544 = 2,0003
3,1 * 0,1880 + 2,3 * 0,441-1.1x * 0544 = 0,9987
1,8 * 2,5 * 0,1880 + 0,441 + 4,7 * 0,544 = 3,9977

Resultater opnået ved at erstatte de opnåede værdier i den oprindelige ligning, fuldt ud at opfylde ligningen.

Som vi kan se, det enkle iteration metode giver en temmelig præcise resultater, men at løse denne ligning, havde vi til at tilbringe en masse tid og gøre besværlige beregninger.